Conjuntos Numéricos

Conjunto numérico é bastante fundamental na Matemática. A partir dos conceitos sobre conjuntos podemos expressar todos os conceitos matemáticos.

A ideia dos conjuntos numéricos segue uma ordem de acordo com a história da Matemática. Ou seja, à medida que a matemática avançou, foi necessário a criação de novos conceitos e, com isso, foram surgindo vários conjuntos de números.

Conjunto dos números Naturais

Conjunto dos números naturais é representado pelo simbolo (N)

Os Números Naturais são números inteiros positivos (não-negativos) incluindo o zero, que se agrupam num conjunto chamado de N, composto de um número ilimitado de elementos. Se um número é inteiro e positivo, podemos dizer que é um número natural. 

Ex. N={0,1,2,3,4,5,6, 8, 9...}

Quando o zero não faz parte do conjunto, é representado com um asterisco ao lado da letra N e nesse caso, esse conjunto é denominado de Conjunto dos Números Naturais Não-Nulos: 

EX. N* = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9...}

• Conjunto dos Números Naturais Pares = {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12...}
• Conjunto dos Números Naturais Ímpares = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13...}

O conjunto de números naturais é infinito. Todos possuem um antecessor (número anterior) e um sucessor (número posterior), exceto o número zero (0).

A função dos números naturais é contar e ordenar. Nesse sentido, vale lembrar que os homens, antes de inventarem os números, tinham muita dificuldade em realizar a contagem e ordenação das coisas.

Conjunto dos números inteiros 

Os números inteiros são os números positivos e negativos. Estes números formam o conjunto dos números inteiros, indicado por ℤ.

Em determinada época da história, se fez necessário a criação de números que representassem “perdas”, ou “dívidas”. Surgiram, assim, os números negativos. Esses números negativos, junto com os números naturais, formam o conjunto dos números inteiros:

O conjunto dos números inteiros é infinito e pode ser representado da seguinte maneira:

EX. ℤ = {..., - 3, - 2, - 1, 0, 1, 2, 3,...}

Os números inteiros negativos são sempre acompanhados pelo sinal (-), enquanto os números inteiros positivos podem vir ou não acompanhados de sinal (+).

O zero é um número neutro, ou seja, não é um número nem positivo e nem negativo.

Nesse conjunto, para cada número há o seu oposto, ou seu simétrico, por exemplo, 3 e -3 são opostos ou simétricos.

Veja que todo número natural é inteiro, mas nem todo número inteiro é natural. Dizemos que o conjunto dos números naturais está contido no conjunto dos números inteiros.

Além do conjunto dos números naturais, destacamos os seguintes subconjuntos de ℤ:

• ℤ* : é o subconjunto dos números inteiros, com exceção do zero. ℤ* = {..., -3,-2,-1, 1, 2, 3, 4, ...}
• ℤ+ : são os números inteiros não-negativos, ou seja ℤ+ = {0, 1, 2, 3, 4, ...}
• ℤ _ : é o subconjunto dos números inteiros não-positivos, ou seja ℤ_= {..., -4,-3,-2,-1, 0}
• ℤ*+ : é o subconjunto dos números inteiros, com exceção dos negativos e do zero. ℤ*+ = {1,2,3,4, 5...}
• ℤ*_ : são os números inteiros, com exceção dos positivos e do zero, ou seja ℤ*_= {..., -4,-3,-2,-1}

Conjunto dos números racionais

Os números racionais são os números que podem ser escritos na forma de fração. Esses números podem também ter representação decimal finita ou decimal infinita e periódica. O conjunto dos números racionais é representado por .

Dentro do conjuntos dos números reais esta contido o conjunto dos números inteiros, que por sua vez contém o conjunto dos números naturais, ou seja, .

O conjunto dos números racionais pode ser representado por:

 

Conjunto dos números irracionais

Os Números Irracionais são números decimais, infinitos e não-periódicos e não podem ser representados por meio de frações irredutíveis. Ele é composto por todos os números que não são possíveis de se descrever como uma fração. É o caso das raízes não exatas, como

2–√, 3–√, 5–√, π, ϕ.

Este conjunto não está contido em nenhum dos outros três, ou seja, nenhum número irracional é racional, inteiro ou natural e nenhum número natural, inteiro ou racional é irracional.

Alguns outros exemplos de irracionais:

• √3 = 1,732050807568....
• √5 = 2,236067977499...
• √7 = 2,645751311064...

O numero PI(π) é o mais famoso dos números irracionais transcendentes. Seu valor é π = 3,14159265358979323846… e representa a proporção da medida da circunferência e do seu diâmetro.

Obs: Diferente dos números irracionais, as dízimas periódicas são números racionais. Apesar de apresentarem uma representação decimal infinita, podem ser representados por meio de frações.

Ex.  

 

Conjunto dos números reais

Podemos dizer que o conjunto dos números reais é formado por todos os números que podem ser localizados em uma reta numérica.

Chamamos de Números Reais o conjunto de elementos, representado pela letra maiúscula R, que inclui os:

• Números Naturais (N): N = {0, 1, 2, 3, 4, 5,...}
• Números Inteiros (Z): Z= {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...}
• Números Racionais (Q): Q = {...,1/2, 3/4, –5/4...}
• Números Irracionais (I): I = {...,√2, √3,√7, 3,141592....}